Artículos etiquetados ‘Matemáticas’

El reto del viernes: cortando rosquillas

7 Junio 2013 |  por  |  Actualidad, Problemas  |  Sin comentarios

 

El primer viernes de junio es el día del donut, de acuerdo a la tradición comenzada por el Ejército de Salvación en 1938. Ha llegado ‘el día del donut’ de este año y con ello un reto atípico.

Desde el punto de vista teórico, lo que se pide es muy sencillo: cortar una rosquilla de modo que queden dos partes entrelazadas. Suena bien ¿no?

No debería ser muy difícil hacerlo con algo balndito, puesto que Keizo Ushio fue capaz de hacerlo con un bloque de piedra durante el Congreso Internacional de Matemáticos de Madrid, en 2006.

Desde el punto de vista práctico encontramos un problema con el material: lo que hemos encontrado en el supermercado se rompe. Habrá que buscar algo más compacto, tal como ha hecho George Hart, que  ha sido capaz de entralazar las dos mitades de un bagel.

 

 

En el video describimos cómo hacerlo, pero seguimos sin encontrar con qué. Esperamos vuestras fotos y videos como comentarios a esta entrada o en nuestra página de facebook. ¡Ojalá deis con el material adecuado!

El reto del viernes: día de Internet

17 Mayo 2013 |  por  |  Actualidad, Problemas  |  9 Comentarios

Estamos incluyendo muchos posts  que celebran días internacionales. Recientemente hemos comentado en Grado 361 el día del teatro, el libro,  el  diseño o el de las matemáticas. Alguno se ha quedado por el camino, pero no podíamos olvidar el día mundial de internet.

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Famelab

15 Mayo 2013 |  por  |  Actualidad, Eventos  |  Sin comentarios

Se ha celebrado la final española de Famelab, un concurso de monólogos de humor con dos características fundamentales: tienen que versar sobre un tema científico y tener una duración de 3 minutos. Conocía la iniciativa y había visto algunos monólogos de la edición internacional, pero no había podido asistir a las semifinales y ni conocía a los monologuistas ni sus historias. El entretenimiento comenzó horas antes de la final, cuando fueron entrevistados en La Ventana:

En el video anterior (o en su versión de audio) se puede comprobar la realidad de unos jóvenes muy preparados cuyo futuro es incierto: comentan que no se sabe si van a poder consolidar sus plazas de investigación o no, aluden al comentario de sus familias sobre su intención de dedicarse a la ciencia o hablan en clave de humor sobre el significado de un contrato indefinido (que antes era equivalente a fijo pero ahora es eso: indefinido). Están preparados académicamente, pero también en las competencias transversales que ahora están muy de moda: tienen una probada capacidad de comunicación y es obvio que son capaces de conectar con el público. Cualquiera que haya visto, o escuchado, la entrevista encontrará similitudes con la tertulia de humoristas que cada fin de semana se desarrolla en A vivir que son dos días. Pero no debemos olvidar una cosa importante, que no son monologuistas, sino científicos.

Burbujas

Foto: woodleywonderworks/Flickr

Divulgar la ciencia es fundamental. La sociedad debe conocer en qué se gasta la parte de sus impuestos que va al capítulo correspondiente a Ciencia y Tecnología, pero no es fácil. La última Ley de Ciencia decía que la divulgación era una parte importante de la labor científica, aunque no promovió los mecanismos adecuados para que ésta fuera reconocida. En el fondo, y salvo contadas excepciones, divulgamos simplemente porque nos gusta hacerlo y creemos que es nuestro deber. La realización u organización de actividades divulgativas no está reconocida en ninguna de las líneas de la CNEAI (que otorga los sexenios de investigación), con lo que los jóvenes investigadores que hacen divulgación están perdiendo tiempo que podían aprovechar para enriquecer su curriculum con trabajos reales de investigación. Los más veteranos en esto también dedicamos muchas horas a escribir artículos en revistas divulgativas o en blogs, y no está ni pagado ni reconocido académicamente. La pregunta es ¿por qué seguimos haciéndolo? No lo sé: por una parte es muy interesante llevar la ciencia (léase matemáticas, en mi caso) a cuanta más gente mejor. Por otra parte estas actividades esperan que en algún momento se pueda encontrar un patrocinador, al estilo de la Fundación Bill y Melinda Gates que impulsó los videos de Khan Academy, para que puedan tener continuidad. Khan se ha convertido en un referente, pero comenzó a publicar sus videos después que Juan Medina lo hiciese en lasmatematicas.es. No creo que en este ámbito se juegue con ventaja teniendo un nombre parecido al del supervillano de Star Trek, sino que la diferencia está en la valoración de la cultura científica que hay en (algunas) empresas americanas, a diferencia de lo que ocurre en España.

Fotografía de una pluma

Foto: Lucía Morales

Volviendo al tema principal, como si estuviésemos escribiendo un monólogo, me alegro mucho de que FECYT haya puesto en marcha esta iniciativa. Es un primer paso para dar “dignidad oficial” a estas actividades: cuando comencé a dar conferencias de magia matemática y matemática recreativa en ocasiones recibí comentarios indicando que se estaba banalizando la ciencia. Por supuesto, no creo que quien lo decía supiera que Luca Pacioli escribió De Viribus Quantitatis, una colección de actividades de matemática recreativa, ayudado por Leonardo Da Vinci. Si buscamos creatividad, esa parte de la matemática es interesante para desarrollarla. Más recientemente, tenemos los ejemplos de Tom Lehrer y Raymond Smullyan, dos referentes en las matemáticas que tampoco han sido ajenos a la escena y que ya han aparecido en este blog.

También me alegro de que los 8 finalistas fueran muy buenos. Quiero dar la enhorabuena a todos ellos, pero (… y hoy me sale el corporativismo) me resulta especial que haya ganado Eduardo Sáenz de Cabezón, un matemático, y que todo el mundo sepa que Un Teorema es Para Siempre.

Día escolar de las matemáticas

10 Mayo 2013 |  por  |  Actualidad, Personajes  |  1 comentario

El año 2000 fue declarado Año Internacional de las matemáticas por la UNESCO. En ese año, la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas instauró la celebración del 12 de mayo como “Día escolar de las matemáticas”, para conmemorar el nacimiento de Pedro Puig Adam.

 

fblascoc en un triángulo de Sierpinski

Foto: Inmaculada Gutiérrez

 

Cuando en 1986 llegué, como alumno de 1er curso, al Instituto San Isidro, me sorprendió ver una placa donde se le recordaba como impulsor de la didáctica de la Matemática. Posteriormente he tenido muchas ocasiones de leer y estudiar diferentes textos de este autor. Pero, a juzgar por los hechos, los responsables educativos no parece que conozcan sus ideas: en 1951 Puig Adam pronunció una conferencia sobre enseñanza de las matemáticas. A pesar de haber transcurrido más de medio siglo desde entonces, lo que dice continúa a la orden del día:

“Si se quiere conseguir, pues, una formación matemática completa que habilite al educando para utilizar en su día la Matemática como instrumento vivo, no debe descuidarse en la enseñanza matemática el sentido de aplicación en su doble aspecto de abstracción y concreción. Pero esto no se consigue limitándose a poner problemas llamados de aplicación después de una exposición teórica abstracta (problemas la mayor parte de las veces de aplicación más aparente que real). El remedio debe atacar al mal en su origen mismo, es decir, en la etapa de formación de los conceptos matemáticos. Así, antes de iniciar el método lógico ha de haberse acumulado en la mente del alumno un rico caudal concreto de observaciones, de experiencias y de intuiciones, efectuadas desde los primeros años de la escuela y que, sedimentadas en lo inconsciente del niño, sean el germen de los conceptos abstractos.”

Cada año, desde 2000, se ha impartido una conferencia en este Día Escolar de las Matemáticas, con el espíritu de llevar a cabo la propuesta de Puig Adam, y así poner en contexto lo que se enseña en las aulas. En 2013 el tema elegido ha sido la relación de las matemáticas con el agua y los recursos hídricos. Desde hace algunos años las conferencias se graban para que los centros educativos puedan organizar en este día un evento especial, pero también lo puede disfrutar cualquier interesado. Así, todos los lectores de este blog pueden seguir el enlace y disfrutar de la conferencia: Hydria-Matemáticas. Midiendo nuestras huellas.

Viene a colación que se acaba de posponer (que no suspender) una nueva reforma educativa, centrada más aún en los exámenes que en la adquisición de conocimientos. Ojalá los responsables educativos leyesen esta conferencia de Pedro Puig Adam, cuya ideología política no era precisamente de izquierdas dado los puestos que ocupó en la época en que los ocupó, pero sí que estaba interesado en aumentar el nivel de educación de los españoles.

Para terminar, otro párrafo que resultará familiar a los profesores que den clase en 2º de Bachillerato, a los directores de centros, a alumnos que se tienen que examinar de la Prueba de Acceso a la Universidad y a sus familiares. Puig Adam critica que las clases se dediquen a enseñar cómo superar exámenes en vez de instruir realmente en la materia objeto de examen. Pues bien, en 60 años eso no ha cambiado y, con las reválidas que se avecinan, parece que tampoco se quiere que cambie:

“Admitido que el prestigio de los Centros de enseñanza esté involucrado al éxito de sus alumnos en ciertos exámenes; los profesores de los mismos tenderán fatalmente a fabricar con la materia prima de su alumnado un producto artificial adecuado a las mencionadas pruebas, sacrificando si es preciso los valores auténticamente formativos y aun la salud física y mental del alumno, quizás sin darse cuenta de ello.”

¡Feliz Día Escolar de las Matemáticas!

 

Concurso de primavera

24 Abril 2013 |  por  |  Actualidad, Problemas  |  1 comentario

Cada año me gusta ver cómo acuden estudiantes de primaria y secundaria a la Facultad de Matemáticas de la Universidad Complutense para realizar el Concurso de Primavera de Matemáticas. Este año no he podido verlo porque, al mismo tiempo, se celebraba un fin de semana matemático en CosmoCaixa Madrid y dado que yo era el “liante” que había propuesto al museo esta actividad, no podía faltar.

Una tensegridad

Foto: Divermates

Me gusta ver el ambientillo que se crea entre padres, profesores y estudiantes. Aún sabiendo que no son muchos los ganadores y que el premio es simbólico, cada año hay más participación de los centros. Este año se inscribieron más de 3900 y finalmente realizaron la prueba más de 3500. ¡Sorprendente! Y a los concursantes se les ve felices de participar, aunque no consigan resolver todos los problemas. De hecho, lo frecuente en matemáticas es que un problema sea difícil de resolver.

La prueba tiene 25 propuestas de elección múltiple (i.e. “tipo test”) en las que prima la intuición matemática. No es un examen al uso en el que haya que desarrollar por completo un problema, sino simplemente una forma de entretenerse un sábado por la mañana pensando en matemáticas, del mismo modo como en otros momentos se puede participar en una carrera popular u otro tipo de juegos. Además del examen, se pudo disfrutar de las pompas de jabón, tensegridades y otras actividades de Divermates.

En otros lugares se celebran unas pruebas parecidas, conocidas como “pruebas canguro” por el nombre original de este tipo de concursos, que se inició en la década de los 80 (Gracias, Raül Fernández). La estructura es similar y la intención de las pruebas exactamente la misma: fomentar el interés por las matemáticas y pensar un poco, que no es malo (aunque para las autoridades y los que nos gobiernan, siempre consideran peligroso que el pueblo piense por sí mismo).

Enhorabuena a todos los participantes, a los padres que llevan a sus hijos un sábado a la Ciudad Universitaria y a los profesores que han dedicado tiempo a preparar a sus alumnos y a estar acompañándoles en este día.  Y gracias por hacerlo. No lo digo como profesor (conozco a la organización del concurso y su gran trabajo, pero no tengo que ver con ello) sino como ciudadano: entre estos participantes están los ingenieros, profesores, arquitectos, periodistas, abogados, economistas, jueces, … del futuro. Y todos ellos necesitan matemáticas para llevar a cabo su trabajo. Y los que se dedicarán a alguna de las profesiones que he enunciado al final de la lista necesitan aprender más matemáticas en la escuela, puesto que en su carrera tendrán pocas.

Como muestra, un botón: hemos pedido a María Moreno, de la organización del concurso, 4  problemas (1 por cada categoría) propuestos en esta ocasión. ¡Suerte!

NIVEL I (5º y 6º PRIMARIA)
-¡Julián, te he dicho mil veces que hagas tu cama! le dice su madre muy enfadada.
-¡Pero si solo llevo levantado ocho minutos! No te ha dado tiempo a decirlo tantas veces.
-¡Anda que no! Y voy a seguir a este ritmo hasta que la hagas.
Si Julián tardó una hora y media en ponerse a hacer la cama, ¿cuántas veces
repitió su madre que la hiciera?
A) 250   B) 5600   C) 10500   D) 11250   E) 90000

 

NIVEL II (1º y 2º ESO)
Dos diminutos quedan para dar vueltas alrededor de un reloj de agujas. Minimino se coloca en las 12 y Minimina se sitúa en las tres; Minimino gira en sentido contrario a las agujas pero Minimina va en el mismo sentido que las agujas; dicen ¡una, dos y tres! y salen a la vez; tris tras tris tras, se encuentran en las 9. Si cada diminuto mantiene su propia velocidad, ¿en qué hora se encontrarán por segunda vez?
A) 2    B) 3    C) 4    D) 5    E) 6

 

NIVEL III (3º y 4º ESO)

En la figura observas tres cuadrados de lado 1 y dos segmentos que unen dos pares de vértices. ¿Cuál es el área del triángulo ABC?

imagen problema
A) 1/6    B) 1/5   C) 2/9    D) 1/3    E) ?2/4

 

NIVEL IV (1º y 2º BACHILLERATO
¿Cuál es el mayor entero n para el queimagen prob2

es entero?
A) 36    B) 38    C) 72    D) 76     E) – 2

Como siempre, esperamos tus soluciones a través de facebookcorreo electrónico o como comentarios a esta entrada.

Malos tiempos

4 Marzo 2013 |  por  |  Actualidad  |  4 Comentarios

En los años de la movida madrileña Golpes Bajos cantaba “Malos tiempos para la lírica“. En un post anterior me refería a lo que me parecían síntomas de gripe. Eso se confirmó y he pasado una gripe con complicaciones que si no me ha tenido apartado de la actualidad, sí que me ha impedido escribir sobre ella.

En estos días, han pasado un montón de cosas: por una parte han aparecido papeles, sobres, contabilidades extrañas y empleados que no se sabe si lo eran o no. Como la proposición indecidible que tiene que haber en todo sistema formal. Y no dimite nadie. Bueno, el papa sí lo ha hecho, extraño ¿no? No sólo han sido los políticos los que han estado moviditos: también los matemáticos. Dos de mis colegas han afirmado que la tierra es el centro del universo (la pseudociencia va ganando posiciones, menos mal que ya han sido desautorizados por su Universidad), mientras que otro apelaba a la  ley de Benford, con demasiados pocos datos, para demostrar la falsedad de los papeles de Bárcenas. Sí, a veces, los matemáticos también nos columpiamos con cosas extrañas, pero es que somos mortales. Me ha dado mucha pena que se haya encontrado un error en la prueba del Teorema del Subespacio Invariante, del que hablábamos hace algunos días.

Bola de plasma

 

Pero hay cosas peores, como que acaba de superarse la cifra de cinco millones de parados. Además, la Universidad en la que trabajo pretende despedir a 301 personas. Y ha sido la noticia más vista en cadenaser.com. Por si fuera poco, aparece el anuncio de cierre de CosmoCaixa Madrid. Un museo al que fui por primera vez con mi hijo y en el que pude ver y tocar lo que yo estaba explicando a mis alumnos mediante ecuaciones (en este caso era el movimiento de un péndulo). Posteriormente he colaborado con el Museo. Personalmente he aprendido mucho: cómo explicar matemáticas en el escenario de un auditorio en lugar de en un aula. Y cómo presentarlo a un público heterogéneo. Estoy seguro de que los visitantes al museo también aprendían: biología, geología, física, astronomía… y, sobre todo, se fomentaba el gusto por la ciencia.

Las otras noticias de la crisis son frías, pero estas no. Las personas que van a ser despedidas en la UPM tienen nombres: Estela, María José, Yolanda, Miguel Ángel, Carmen… En el Museo hay personas que trabajan para la Fundación La Caixa y continuarán su labor en otros centros, pero también hemos conocido a personal de mantenimiento y  a monitores de actividades en estos años (gracias Toño, Javier, Pilar, Raúl, David, Miriam…)

Un golpe más a la ciencia, la divulgación y la educación, que además hace que aumente el número de parados. A corto plazo invertir en Ciencia puede parecer que no es rentable, pero no fomentar las vocaciones científicas es hipotecar un país. A corto plazo, no tener nociones científicas contribuye a no distinguir entre ciencias, pseudociencias y fraudes, como ya está ocurriendo con la proliferación de adivinos y magufos. ¿Nos daremos cuenta alguna vez?

El reto del viernes: el paso del tiempo

1 Marzo 2013 |  por  |  Problemas  |  1 comentario

Hace dos años comenzamos a proponer enigmas matemáticos en Hoy por Hoy. El primero de ellos fue un “problema de relojes”. No hemos vuelto a proponer, ni antes en antena ni ahora en el blog, un problema parecido. Creemos que ha llegado el momento de hacerlo.

Un reloj

Foto: anieto2k/Flickr

El reloj de nuestro problema será uno de los antiguos, de los que tienen engranajes y las manillas marcan 12 horas. Con ese reloj no se puede distinguir si son, por ejemplo, las 4 de la madrugada o las 4 de la tarde. En ese contexto planteamos el problema:

En cierto instante este reloj marca 2 minutos menos de lo debido, aunque va adelantado. Si marcase 3 minutos menos de lo que debe marcar, pero se adelantara al día en 1/2 minuto más de lo que se adelanta, entonces marcaría la hora exacta un día antes que la marca. ¿En cuántos minutos se adelanta al día?

El reto del viernes: monedas y Von Neumann

25 Enero 2013 |  por  |  Actualidad, Problemas  |  8 Comentarios

Al abrir la página de cadenaser.com me he llevado una agradable sorpresa (a pesar de lo triste de las noticias de estos días), ya que aparecían datos, estadísticas, porcentajes, … y pensé “qué fácil tengo hoy escribir en el blog”. Seguí bajando en la página y leí otra noticia matemática: Una española resuelve uno de los problemas matemáticos del milenio ¡Estupendo!

lanzamiento de una moneda

Foto: anieto2k/flickr

Y es que en estos días se celebra en la Universidad de Santiago de Compostela el congreso de la Real Sociedad Matemática Española. Una de las presentaciones estrella es la de  Carl C. Cowen y Eva Gallardo,  quienes han resuelto un problema,  planteado por John Von Neuman, que no es uno de los  problemas del milenio, aunque podría haber entrado en esa lista.

En España hay un estupendo capital humano. Con interés, ganas, y eficacia probadas. El recorte que se ha hecho a los presupuestos para investigación es otro obstáculo que deben superar los investigadores. El crecimiento en esta materia que habíamos experimentado se va a ver truncado. Para vender la marca España éxitos en investigación son mucho mejores que éxitos deportivos (y por supuesto, que escándalos financieros, corrupción política, …)

Aunque para poner en contexto el reto de este viernes nos hemos extendido un poco más de lo habitual ya llegamos a nuestra propuesta. No os asustéis, no os vamos a pedir la solución del problema de Von Neumann, sino vuestra propia solución a un problema que le fue planteado a este insigne matemático (sí, si buscáis por internet encontraréis la suya, pero de lo que se trata es de que juguéis y penséis).

Ahí va el reto: Tenemos una moneda cargada (en la que es más probable que salga cara a que salga cruz). ¿Cómo podemos jugar con ella de modo que obtengamos un juego limpio “a cara o cruz”?

Esperamos tus soluciones a través de facebookcorreo electrónico. o como comentarios a esta entrada.

Esta entrada es la segunda aportación de Grado 361 a  la Edición 3.1415926535 del Carnaval de Matemáticas, con sede en La Aventura de la Ciencia.

Terremotos

16 Enero 2013 |  por  |  Actualidad  |  2 Comentarios

En estos días se han cumplido tres años del terremoto que desoló Haití. Su presidente hablaba de números en la entrevista que se le hizo en Hora 25. Ahora, en el aniversario de la desgracia, se sabe que 357000 personas siguen en campamentos. Números demasiado grandes.

Consecuencia del terremoto de Haiti

Foto: danboarder/Flickr

Describir los fenómenos naturales en términos matemáticos no es sencillo y hay mucho trabajo por hacer, dado que se ha comprobado su utilidad. Siempre que se hace ciencia aparecen las matemáticas, sea para describir, cuantificar o explicar. Y en este año de las matemáticas del planeta tierra vamos a encontrar muchas ocasiones para mostrarlo.

Hace muy pocos días ha habido un terremoto entre Granada y Jaen. He buscado en cadenaser.com la palabra “terremoto” y la primera frase qué me ha salido ha sido “un terremoto de 3,8 grados sacude las provincias de Granada, Córdoba y Jaén”. Esos “grados” ni tienen que ver con nuestro blog, ni representan temperatura, ni indican el tamaño de un ángulo, sino que se refieren al valor de la magnitud del terremoto en la escala de Richter.

Vale… ¿pero cuánto son 3,8 grados en este contexto? ¿Se pueden medir todos de acuerdo a esta escala?  ¿Cómo se le ocurre a uno inventarse una escala de medición? Éstas son preguntas que se nos ocurren de modo natural cuando pensamos en las matemáticas que hay bajo los terremotos y su estudio.

Lo primero: un terremoto de 3,8 grados no es “el doble de intenso” que uno de 1,9 grados, puesto que la escala utilizada no es lineal, sino logarítmica.

(Inciso: las palabras logaritmo y algoritmo, aunque suenen parecidas tienen significados matemáticos muy diferentes: un algoritmo es un método o procedimiento, en el que hay que seguir unas reglas, como, por ejemplo, el procedimiento que nos enseñaron en el colegio para calcular una raíz cuadrada, y un logaritmo es una operación).

La fórmula que mide la magnitud de un terremoto, desarrollada por Charles Richter y Beno Gutenberg es

Magnitud = log A + 3 log (8t) – 2,92

Donde A representa la amplitud de las ondas, medida en milímetros y t es el tiempo que transcurre desde que se aprecian las ondas primarias hasta que llegan las ondas secundarias.

La escala de Richter solo admite valores entre 2 y 6,9, debido al propio diseño de la escala y a las limitaciones del sismómetro de Wood-Anderson. No hay problema: las matemáticas dan una solución para ello: para magnitudes mayores se utiliza una escala diferente, que permite medir con mayor precisión, la escala sismológica de magnitud de momento. El terremoto de Haití tuvo magnitud 7. El de Lorca de 2011, magnitud 5. Para hacernos una idea de la magnitud de un terremoto de 3,8 grados podemos tomar como referencia el movimiento provocado por la explosión de una mina. Más o menos conocemos las consecuencias de un terremoto de magnitud 5 (Lorca) y de uno de magnitud 7 (Haití): el número que indica la magnitud no crece en la misma medida que “el desastre” que provoca; esto es, una crecimiento “pequeño” en el número se corresponde con un fenómeno de intensidad mucho mayor. Eso es debido al logaritmo que aparece en la fórmula. Interesa hacerlo así porque, sabiendo lo que significa y cómo interpretarlo, nos permite trabajar con números menores, ayudando también en su representación gráfica. Y sabemos que una imagen vale más que mil palabras (e incluso que mil números). En realidad no hay nada nuevo bajo el sol y el tipo de fórmula que utilizó Richter para describir la magnitud de un terremoto es similar a la que ya se usaba para medir el brillo de las estrellas. Así es como la ciencia avanza: ideas conocidas en un ámbito pueden servir de inspiración en otra área.

El reto del viernes: Billares

4 Enero 2013 |  por  |  Problemas  |  9 Comentarios

Un nuevo año, de algún  modo, implica cambios. En este 2013 vamos a proponer, cada viernes, un reto. La selección que propondremos contendrá a veces problemas geométricos (como en esta ocasión), a veces numéricos y en otras ocasiones habrá que construir o manipular algo.  En la variedad está el gusto y las matemáticas aparecen en casi todas las facetas de la vida cotidiana.

Billar

Foto: phylevn/Flickr

En esta ocasión nuestro problema tiene que ver con un billar de 160 cm de ancho en el que, en la parte inferior derecha, a 60 cm de cada uno de los bordes, se coloca una bola.

Un campeón de billar lanza la bola, sin efecto,  hacia la parte superior izquierda, de forma que el taco forma un ángulo de 45º con el lado mayor del billar. Después de tocar cinco bandas, la bola vuelve a su punto de partida.

¿Podemos saber cuál es el largo del billar?

Esperamos vuestras soluciones, como comentarios a esta entrada, a través de nuestra página en facebook o por medio del correo electrónico a grado361@cadenaser.com .

 

 

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