Solución al reto del billar

11 enero, 2013  | por Fernando Blasco |  , , , ,  |  2 Comentarios
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Se atribuye a Henri Poincaré que “la geometría es el arte de razonar con figuras mal hechas”…

…Y el reto que proponíamos la semana pasada era un reto geométrico. No sé si es necesario resolverlo, ya que ha sido ampliamente comentado en facebook y en la entrada en la que se propuso. Algunos de nuestros seguidores han enviado incluso figuras (bien hechas, por cierto) con su resolución. Gracias a todos.

Las reglas de la reflexión nos dicen que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. Y como inicialmente lanzamos la bola en un ángulo de 45º, todos los rebotes se harán con esta inclinación respecto a los bordes de la mesa de billar. Todos los ángulos que intervendrán en el problema son de 45º o de 90º (ángulos rectos).

La figura siguiente refleja la trayectoria de la bola (A?H?J?L?F?B) y algunos otros puntos y líneas que se necesitan para poder explicar el problema:

Solución al problema del billar

El triángulo ABC es isósceles (tiene 2 ángulos de 45º y uno de 90º), por lo que AC=BC y como sabemos que AC=60 cm, tenemos que BC=60 cm. Además CN es la distancia que separa A del borde, que también son 60 cm. Puesto que el ancho de la mesa de billar es de 160 cm, obtenemos que EB=40 cm. Y por ser el triángulo BEF isósceles, tenemos que también EF=40 cm. Lo utilizaremos más tarde. También se usará que EG=60 cm.

El triángulo AGH es isósceles. Sabemos que AG= 100 cm, luego GH=100 cm.

Desconocemos la distancia HI. La llamaremos x.

El triángulo HIJ es isósceles, luego IJ=x y JK=160-x, lo mismo que LK (por volver a tener un triángulo isósceles).

Trazando la paralela al lado menor que pasa por F, obtenemos el triángulo isósceles FML. Como FM son 160, ML también. Por último, NM=EF que dedujimos que era 40cm.

Así, el largo de la mesa se puede calcular mediante dos expresiones:

EG+GH+HI o NM+ML+LK. Así, sustituyendo los valores correspondientes, resulta

60+100+x= 40+160+ (160-x)

Despejando queda x=100, con lo que el largo de la mesa del billar es de 260 cm.

Aunque ese resultado es correcto, formalmente podría haber otra posibilidad: si la mesa es muy alargada, la segunda banda se produciría en el lado largo en vez de en el corto, siendo la situación la siguiente:
Solución al problema del billarEn este caso (correcto matemáticamente pero poco frecuente en una mesa de billar real) conocemos que AB=60, AC=100 cm, deducimos que DC=100 cm y esto es igual a BE. Como DEF es isósceles, DE=EF=160 cm. ASí BG=BE+EF+FG=100+160+x.

Por otra parte, los triángulos JKL y HGF son triángulos rectángulos isósceles con hipotenusas iguales. Por tanto los catetos también tienen que ser iguales y así KJ=x. Un argumento similar nos da que LK=AB=60 cm. Pero, según acabamos de ver, LK=KJ=x.

Así la longitud BG=260+x=320 cm. Por tanto, la longitud del lado largo de la mesa es, en este caso, de 380 cm.

El modo de resolver este problema (y casi todos) es el mismo que el que se usa para resolver un puzle: observar dónde están las piezas, que margen de maniobra nos dan y cómo podemos utilizarlas. Por otra parte, pensarlo no es difícil. A lo mejor nos hemos excedido en los detalles al redactarlo. Ha sido con la intención de que todos los pasos quedasen claros.

Cada viernes propondremos un nuevo reto ¿Te atreves con él?



2 Comentarios


  1. Hola,

    Solamente como curiosidad, comentar que existe otra solución siempre que al lado vertical del billar se le deje la libertad de ser del tamaño que sea (incluso pudiendo ser más corto que el horizontal), pues siendo de 110 cm también se cumple.

    En general, si A es la parte horizontal y D la distancia (la que en el problema es 60 cm), para este problema de los 5 rebotes a 45º hay 4 posibles soluciones:

    2A+D
    2A-D
    (A+D)/2
    (A-D)/2

    Y la última será descartable, por no tener sentido ya que la bola inicialmente quedaría fuera del tablero, siempre que D sea mayor que A/3, y en este ejemplo concreto es descartable.

    Salduos,

    PD estoy leyendo EL PERIDISTA MATEMATICO, muy interesante

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